このままだと加入期間１年未満となり出産手当金や失業保険が需給できません。参考までに受給中のアルバイト規制を貼っておきます。たとえアルバイトであっても、お金を貰ってしまえば資格を失ってしまいます。

失業保険の申請について
今派遣として勤務しております。その会社を３月３１日を契約満了で退社することになりました。
雇用保険を３年掛けておりましたので、失業保険を申請し待機期限７日で失業手当てを
いただくつもりです。
３ヶ月失業手当を頂いてる間に、希望する職と時間に合ったものを見つけアルバイトをするつもりです。
そこで、質問ですが

・希望時間朝の７時から１２時まで若しくは、夜の９時から２時くらいまでのアルバイトで、曜日構わず勤務できます。
（子どもがいるためこの時間を希望しております。）
・４月から准看護学校の定時制に通うのですが、失業保険の申請時には言わなくてはいけないのでしょうか？
（働きながら通う学校になっていますし、私も働きながら通うつもりです）

この２点の質問になります。よろしくおねがいします。

夜間学校に通う場合は、働く意思があって求職活動も行うのなら支給される可能性が高いです。（一応ＨＷに確認）
そういった意味でもＨＷにはキチンと話をすることが必要です。
もう一つ、ＨＷに求職の申請をしているわけですから、ＨＷから職業の紹介を受ける際でも条件的なものがあれば事前に話しておくことが必要でしょう。
参考までに受給中のアルバイト規制を貼っておきます。
＜受給中のアルバイト・パート等に関すること＞
雇用保険法19条を分かりやすく書き換えたものです。
①週２０時間未満で１日４時間以上であれば認定日にバイトした日にち分だけの基本手当日額は支給されないが、後に繰り越され、その日数分は後でもらえる。この場合はバイト収入の金額は特に制限されない。
②週２０時間未満で１日４時間未満の場合でバイト日額から１299円を引いた額と、基本手当日額との「合計額」がバイト日額の８０％を超えないときは基本手当日額と基礎日数を乗じた金額が支給される。つまり通常通り支給される。
③前述の「合計額」がバイト賃金の８０％を超えるとき、超える額「超過額」を基本手当日額から引いた残りの額に基礎日数を乗じた額が支給される。
④前述の「超過額」が基本手当日額以上である場合は基礎日数分の基本手当ては支給されな
⑤週２０時間以上になれば就職とみなされる。 (再就職手当の対象となる）
再就職手当の支給対象にならない形態（１年を超える見込みが無い短期的な職業、雇用保険がない職業)についた場合に就業手当として基本手当日額の３０％の金額を就業日ごとに支給する。

失業保険の申請について。。。
新規事業の立ち上げ時に一応、６ヶ月と言う期限で契約社員として採用されました。事業が波に乗った場合はその後、正規社員に。芳しくない状況になった場合は契約期間満了ということで解雇もあり得る、という条件でした。
結果、新規事業は撤退すると言う理由で満期の１ヶ月前に解雇通達が為されたのですが、この場合は会社から離職票を貰い、申請をすれば、失業保険は給付して貰えるのでしょうか？最初に条件はありましたが、６ヶ月と言う期限で契約をしているので。。。
新規事業の立ち上げには、かなり力を入れてあたって来ましたので、次の事など考える暇もありませんでした。解雇の決まった今は撤退するはずのプロジェクトの引き継ぎの毎日。職探しの時間は全くありません。（正直、気持ちが萎えてしまった感は否めません。。。）

労務に関してお詳しい方、アドバイスを頂けますでしょうか？

雇用保険の加入条件として、平成２２年４月から、「３１日以上の雇用見込みがあること」「１週間の所定労働時間が２０時間であること」と規制がゆるくなりました。

なので、契約社員時期の６ヶ月間は加入できますし、被保険者期間としてカウントできますよ。

失業給付の条件は「過去２年間に１年以上の被保険者期間があること」なので、前の会社に６ヶ月以上在籍していたのなら前の被保険者番号若しくは前の会社名を伝えて被保険者の資格をもらうといいですよ。

出産手当金が欲しい。

５月中旬から派遣社員として働いていて妊娠しました。出産予定日が７月末なので派遣先にお願いをして、
契約満了日の６月末まで働かせていただけることになりました。

社会保険は１年以上加入しているし産前６週以内に被保険者であるという、出産手当金を需給するための資格を満たしていると安心していたのですが、給与明細を見て社会保険は７月から加入していることに気付きました。

そういえば派遣元の営業に｢派遣先の都合で一旦６月末で契約終了し７月から３ヶ月更新しますので社会保険は７月からで良いですよね？｣と言われたのを思い出しました。

このままだと加入期間１年未満となり出産手当金や失業保険が需給できません。このまま諦めるしかないのでしょうか。

派遣先には１日でも良いので、と契約更新をお願いしたのですが、予定日１ヵ月以内の更新は難しいと断られました。

派遣元にもお願いをしましたが派遣先ありきの事なので無理だと言われました。

わすが１日の違いで出産手当金と失業保険を需給できないのが悔しいです。誰か知恵を貸していただけませんでしょうか。

ちなみに９時～１８時の土日祝日休みで働いています。よろしくお願いします。

あなたは派遣元の従業員で、派遣先に雇用されているわけではないのだから、派遣先と交渉することではないし、派遣先に口を出す権利はないんですが。
※労働契約は継続していて産休中、というのは派遣元とあなたとの契約の問題。

〉社会保険は１年以上加入しているし
１年以上健康保険被保険者である、というのは退職後の継続給付の条件ですから、６月末までの分は受けられますが。

問題は保険証の資格取得日なんですが、今のものは７／１なんですね？
１日の空白もなく被保険者であるのなら、通算するから「引き続き１年以上」の条件は満たすはずですが。

※
〉産前６週以内に被保険者である
予定日以前６週間に休んで賃金を受けていない、というのが条件です。

自己診断ではなく、保険者に確認すべき。

基本手当については、離職の日からさかのぼって
・２年間に、雇用保険に加入していて、賃金支払日数が１１日以上ある月が１２ヶ月以上ある
・（出産が理由の離職なら）１年間に、雇用保険に加入していて、賃金支払日数が１１日以上ある月が６ヶ月以上であり、受給期間延長を９０日以上受けた
のどちらかで受給資格を満たします。
連続して加入していなければならないという規定はありません。
※６月は２週間ほど産休があるはずですが、満たすんですか？

失業保険について質問です。
会社を自己都合で退職しました。次の仕事の目処はついていますが、雇用は半年くらい先になります。

その間はバイト扱いでなら試しに働けるということなんですが、これだけでは生活が苦しくなりそうです。
失業保険を受給するには就職活動をしていなければならないみたいですが、このような形でアルバイトをするのは就職活動として認められるのでしょうか？
よろしくお願いします。

就職活動として認めるというよりも、仕事としてお金を貰ってしまうので、受給資格が失われる可能性が強いです。
就職活動として認められるのは、職業安定所で仕事を探すという行為のみ（もしくは面接を受けに行く）だったと思います。
一度剥奪された受給資格は戻りませんので、職業安定所でよく確認してください。

補足を拝見しまして

残念ながら現状だとそうなります。
失業保険と言うのは、失業している間の生活費補償です。
たとえアルバイトであっても、お金を貰ってしまえば資格を失ってしまいます。
却って勤労意欲をそぐへんな制度ですよね。
アルバイトでも収入○○円以下、とすべきだと思います。